拓扑光子学是近年来比较热门的方向，也是大家关注比较多的方向。本文讲一讲和拓扑相关的拓扑荷。本文中的拓扑荷不是轨道角动量（OAM）中的拓扑荷，而是光子晶体平板辐射相关的拓扑荷，望大家知道这个区别，两者或许有什么关联，但不在本文的范围内。

1、什么是拓扑？

拓扑最初是数学中的一个概念，是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科；它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。比如，下图中的各类球，虽然大小和形状不完全相同，但都称为球，它们具有相同的拓扑不变量；同理，下图中的甜甜圈、呼啦圈、密封圈等，都称为圈，它们也有形同的拓扑不变量；但是，球与圈具体不同的拓扑不变量。

可以把拓扑的概念推广到更大的范围内。简单的讲，如果研究对象在连续变化过程中某些性质保持不变，那么可以尝试定义一个拓扑XX，一个直观的例子是本文的拓扑荷。

2、什么是拓扑荷？[1][2]

我们知道一维或者二维光子晶体平板具有周期性结构，当光在平板里面传播的时候，由于散射的作用，会往平板外辐射光；此外，平板内不同方向传播波的辐射光会相互干涉。我们还知道，即使当光子晶体平板的周期、厚度、孔大小发生改变时，这个辐射光会一直存在，辐射光之间的干涉作用也一直存在。于是大家都懂了，可以考虑尝试定义一个拓扑XX（拓扑荷）。

光子晶体平板作为周期性结构，有第一布里渊区和能带，拓扑荷的定义和它们都有关联。

拓扑荷的定义。取动量空间（即第一布里渊区）中的一点k(kx,ky)（假定在光锥内），具有该k(kx,ky)波矢的光在平板内传播时会往平板外辐射光，辐射光的远场有极化方向，取极化方向的长轴E(Ex,Ey,Ez)，然后把E(Ex,Ey,Ez)投影到x-y平面得到E//=(Ex,Ey)。动量空间中的每一个点k(kx,ky)都有对应的一个E//=(Ex,Ey)，可以一一画在图中，于是得到了动量空间的极化矢量分布图。有了该极化矢量分布图，就可以定义某一点k(kx,ky)的拓扑荷了，严格的数学公式如图所示，其物理含义是绕该点一个闭合回路上极化矢量偏转角度的积分，然后与2π的比值。

拓扑荷的特点。拓扑荷与辐射光的干涉是紧密相关的，当拓扑荷为非零整数时，表明该点k(kx,ky)的辐射光干涉相消，可用于构建BIC或者单侧出光UGR[3]。另外，拓扑荷还具有拓扑的特点，当光栅结构改变时，拓扑荷在动量空间移动而不会消失。

最后，拓扑光子学有很多东西可以研究，奈何作者不才，只略知皮毛。

参考文献

[1]Hsu, C., Zhen, B., Stone, A. et al. Bound states in the continuum. Nat Rev Mater 1, 16048 (2016).

https://doi.org/10.1038/natrevmats.2016.48

[2]彭超教授，拓扑光子学与集成光学器件讲座

https://www.koushare.com/video/videodetail/6985

[3]Yin X , Jin J , Marin Solja?i?, et al. Observation of topologically enabled unidirectional guided resonances[J]. Nature, 2020, 580(7804):467-471.